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tianlangTianlang  2021-09-03 10:00 天浪书屋 隐藏边栏 |   抢沙发  0 
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无解的方程:从丢番图到伽罗瓦pdf-epub-mobi-txt-azw3
书名:无解的方程:从丢番图到伽罗瓦
作者:韩旭
格式:EPUB/MOBI/AZW3
标签:数学 科普
ISBN:

内容简介:


- 大致内容:本书从最底层开始搭建数学,忠实复现了现代数学的架构,展示了人类理性求索的历程,并以寻找五次方程求根公式为例,给出了一个完整的拆解问题、明确定义、分析抽象、演绎推理、得到答案的过程。

- 特色:本书以第一人称视角叙述,自然生动。但是,不同于一般的科普书,本书未放弃与丧失一丝现代数学的完整性与严密性。另外,全书纵向跨度很大,从最底层的形式系统到最高层的伽罗瓦理论,会为读者呈现非常多哲学与数学的发展脉络。

- 读者对象:面向受过初中教育及以上的人群,旨在普及与激发理性、思辨、求索之精神。

作者简介:


韩旭

作者表示他是谁不重要,内容才重要。

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部分摘录:


你可能很难想象,这貌似人畜无害的寥寥数字,承载着极为深刻的人类心智的光辉。为了回答它,人们探索了上百年,历史上绝顶聪明的那些头脑们都曾败下阵来。最终,一位年轻人征服了它。答案写在一封信中,落款是1832年5月29日。第二天,这个年轻人参加了一场决斗,卒,享年21岁。他叫伽罗瓦(Galois)。如今,那封信中的思想已成为现代数学地基性的理论,在我看来,它也是数学从摆弄具体技巧迈向把握抽象结构的开端。

若将问题1.1比做一座山峰,我们要做的,就是一起从山脚开始,边攀登边欣赏沿途的风景,同时我会告诉你一些登山的技巧,直到最终登上顶峰。相信我,届时我们将欣赏到无比辉煌壮丽的景色!在出发前,我们先随便闲聊几句(2)。

从何聊起呢?回答问题的前提是明确问题。数学的核心也正在于明晰定义与概念,然后基于逻辑把玩与演绎它们。于是,我们先来聊聊问题1.1中的一些概念。诚然每个字想必你都认识,每个词也都感觉知晓,但是下面这四个概念,我们真的明确吗?

· 什么是方程?

· 什么是根?

· 什么是五次方程?

· 什么是求根公式?

1.1 谜一样的墓志铭
故事可以从古罗马说起。很久很久以前,在埃及的亚历山大港,一位老人埋葬了自己早逝的孩子。不像伽罗瓦的年龄能被精确到日,历史并没有流传下这位老人太多的信息,除了一篇迷一样的墓志铭(3):

行人啊,请稍驻足,这里埋葬着丢番图。

上帝赋予他一生的六分之一,享受童年的幸福。

再过十二分之一,两鬓长胡。

又过了七分之一,燃起结婚的蜡烛。

爱子的降生盼了五年之久。

可怜那迟来的儿郎,只活到父亲岁数的一半,便进入冰冷的坟墓。

悲伤只有通过数学来消除。

四年后,他自己也走完了人生的旅途。

这位老人就是古代世界著名的数学家丢番图(Diophantus)。那么问题来了,他活了多少岁呢?你可能会敏锐地注意到,他的年龄需要是12和7的倍数。于是,84岁是一个合理的猜测。再代入验证一下,会发现的确符合描述!所以丢番图活了84岁。

时间拉回到现代。在我上小学那会儿,所谓“鸡兔同笼”问题算是比较有挑战的难题了,想必你也遇到过?

今有鸡兔同笼。上有三十五头,下有九十四足。鸡兔各几何?

我已经忘记了小时候第一次看到这个问题时的反应。但至少现在看来,还是有点思路的。假设我们吹一声哨子,动物们都会抬起一只脚,于是地上便少了35只脚。再吹一声又少35只。此时鸡已经都飞起来了,还剩24只脚一定都是双脚站立的兔子的!所以兔有12只,鸡便有23只。

这两个问题都很简单嘛,分分钟解决!然而我们必须意识到,我们虽然解出了这两个问题,但使用的是两种精巧、特定的思路,并未诉诸一种普适的方法。于是,若问题中的数字换了换,或者问题的结构不一样了,我们又得苦苦寻求新的解答。我不知道你是怎样的,反正我是不爱动脑子。能无脑解出来的问题,干嘛要动脑筋呢?这个能让我们无脑解决问题的东西,就叫方程(4)。

概念1.2 方程(equation)是含有未知量的等式。

我记得这是小学数学课本上给出的定义,不得不说,十分恰当。换言之,只要我们将问题翻译成含有未知量的等式,那么我们就得到了一个方程!诚然不同文明曾经都有各自表示未知量的方法,现代通行的做法是使用罗马字母

a,b,c,d,…

A,B,C,D,…

与希腊字母

γ,δ,λ,σ…

Γ,∆,Λ,Σ,…

我们也遵循之。于是,如果设丢番图的年龄是n的话,他的墓志铭翻译过来无非就是如下这一行等式:

同样,如果记鸡有a只,兔子有b只,那么鸡兔同笼问题就是如下这两个等式:

一般的,所谓列方程,其实就是在将问题陈述的事实翻译成数学等式。翻译完成后,我们便可以利用数学理论、工具与技巧来研究它,以期解出我们的未知量。

如果你觉得方程也就上面两例那么回事,太简单,不值一提,那就大错特错了!下面我再举一例,不过我们有言在先,这纯粹是一个独立的例子,若看不明白完全可以跳过,千万别把这书扔了不看了……

这是描述氢原子的薛定谔方程(Schrodinger equation),是量子力学奠基性的经典方程。其中大部分字母都是数学与物理常数,包括,µ,e,π,ϵ0,剩下的ψ(r,θ,ϕ)与E是我们要求解的未知量。后者是一个数,前者是一堆数,由r,θ,ϕ三个参量标识,它们不同的取值都有一个对应的ψ的取值。换句话说,ψ是一个所谓未知函数。∇是一个作用在函数上的算符,描述函数的变化。

这个方程在历史上有着里程碑式的意义。20世纪以来,随着实验设备越来越先进,微观世界的大门被逐渐打开。物理学家们惊讶地发现,眼前看到的是一片前所未见的神秘世界,微观粒子的行为完全不能用过去那套针对宏观物体的方程来描述,曾经被认为像小球一样的那些粒子(particle),有时却会表现出波(wave)的特性。于是,各路英雄豪杰开始提出各种新的理论与假说。最终,1925年,薛定谔提出了如今以他的名字命名的薛定谔方程,用所谓波函数(wave function)——也即方程(1.3)中我们要求解的ψ——来描述微观粒子。从这个方程出发,如今人们已经建立了一套非常宏大的量子理论,完美描述了微观尺度的宇宙。氢原子由一个原子核伴以一个电子构成,算是最简单的微观系统了,自然成为了初生的量子理论小试牛刀的对象。不用怀疑,人们找到了氢原子薛定谔方程的解,并用实验验证了它的确更好地描述与解释了我们所观测到的自然!

于是,下一个问题便来了,那到底什么是方程的解呢?

1.2 薛定谔的氢原子
我们说方程(1.1)的解是n=84,意思是把n替换成84代入式子的两边,等式成立。同样,说方程(1.2)的解是a=23,b=12,意思是将它们代入式子后,两个等式均成立。于是,我们可以将方程的解归纳为如下概念。

概念1.3 方程的解(solution)是使得方程所述等式成立的对未知量的赋值。

无论是从问题1.1还是概念1.3的表述,我们都不难意识到:这样的赋值可能找不到,方程可能无解!比如下面这个方程:

x+1=0

一个小学一年级的学生肯定会说它无解,因为0已经是最小的数了,怎么可能有一个数加上1才等于它?然而,等到二年级老师教了负数后,他便会意识到,这个方程可以有解x=−1。不久,他又遇到了一个新的方程:

2x=−1

一个数的两倍肯定是个偶数呀,怎么可能等于−1呢?不急,到了三年级学了分数后,解就又有了,即。可惜好景不长,很快又一个方程冒了出来:

x2=−1

好的,我读书再少,可任何数的平方都是非负的,这不会有错吧?!这个方程肯定没解!谁料,若他上到高中读了理科,便会学到一种叫“复数”的数。你说解不存在?好,我们引入一个符号i,规定它满足性质i2=−1。于是,现在i就是这个方程的解了!有点赖皮?别急,在后文我们将会看到,这个小小的i背后可是隐藏着非常深刻的抽象!

这还没完,前面方程的解都是一个个看得见摸得着直截了当的数,那下面这个方程呢?

我可以告诉你它的一个解是(5)

x=sin6◦

没错,是一个用所谓三角函数表示的值。没人规定方程的解一定要是“数”呀,它完全可以是一个表达式,而且可能超级复杂。就再拿我们的氢原子薛定谔方程(1.3)来说吧,它的解是(再强调一遍,这个例子超纲了,看得头疼就跳过!):

其中,等号左边就是我们要求的未知函数ψ(r,θ,ϕ),但是你注意到没有,它有三个下标n,l,m,这表示我们不仅有一个解,而是有一堆解,每一个合法的(n,l,m)就标识了一个解。物理上,这三个数叫量子数(quantum number),它们的取值为

· n=1,2,3…

· l=0,1,2,…,n−1

· m=−l,…,l

所以,ψ1,0,0、ψ3,2,−2、ψ100,99,−99等都是解,它们描述了特定状态下的氢原子。等号右边自然给出了解的具体表达式,显然它不是一个简单的数。根号下是一些常数,e−ρ/2ρl是参量ρ的简单函数,也还好,而L和Y这两个人畜无害的字母可就复杂了。

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tianlang
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这个人很懒,什么都没写

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