tianlangTianlang  2021-09-14 18:00 天浪书屋 隐藏边栏 |   抢沙发  295 
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原来数学这么好玩pdf-epub-mobi-txt-azw3
书名:原来数学这么好玩
作者:冨岛佑允
格式:EPUB/MOBI/AZW3
标签:数学 科普
ISBN:

内容简介:


打碎数学恐惧症!探寻藏身日常的好玩数学
哆啦A梦的四次元口袋,居然能画在纸上?
成天“吱哇”叫的蝉也懂质数?
花瓣的个数和台阶的跨法背后是同类数列?
从一系列日常生活中简单而有趣的现象出发,探索数学之美。
你是否一看到数学就头疼?是时候打碎“数学恐惧症”了!好玩的数学就隐藏在触手可及的日常生活中,跟随本书,从一系列日常生活中简单而有趣的现象出发,探索纷繁日常中数学的简单之美吧。
哆啦A梦的四次元口袋,画在纸上是什么样子?最大的数有多大?无理数有多“无理”?古希腊人用日晷和骆驼就能计算地球周长?人工智能是如何战胜人类的?怎么设置万无一失的密码?……关于数学,多的是你不知道的好玩事!打开本书,从数到形,从古文明到尖端科技,探寻无所不在的数学之美!

作者简介:


[日]冨岛佑允
1982年出生于福冈县。先后就读于京都大学理学部、东京大学大学院理学研究科(素粒子物理学专业)。现就职于外资生命保险公司。
曾是世界最大基本粒子实验项目的研究员。后被银行聘为金融工程师,负责信用衍生产品、日本国债和日本股票的运营,在纽约担任过对冲基金经理。2019年在一桥大学研究生院取得金融学硕士学位。
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部分摘录:


数是否与文明一同进步?
在人类社会的发展进程中,诞生了许多数。其中包括广为人知的数和只有在高等数学中才能见到的数。那么大家对数究竟了解多少呢?接下来,让我们通过回顾数的历史,来了解一下人类的发展史。

最古老的数中有:

1,2,3,4,5,…

这些都是自然数,主要用来计量事物的件数。这些数自远古时期就开始被人类使用,是最能让我们自然而然地联想到的数,所以被称为“自然数”。

如果数的用途只是统计事物的数量,那么光自然数就足够了。但是,随着人类文明的发展,方方面面都需要使用数来表示。例如,A从B那里借了一些钱,应该用什么数来表示呢?对于这种赤字的情况,我们只需在数前面加上负号“-”,就能很好地表示。事实上,在7世纪左右的印度,为了表示欠款,人们已经开始使用负数了。公元前1世纪左右,中国的古书中就出现了负数。下面我们将负数和正数进行排序,具体如下:

…,-3,-2,-1,□,1,2,3,…

上述数列是否有不全的地方?为什么中间会有一个“□”,是某个数字被去掉了吗?答案是:“0”。

随着人口数量的剧增,社会逐渐有了管理大规模业务和人口数据的需求,处理“大数”的机会也多了起来。在处理位数众多的大数时,往往会出现“没有数字”的空位,所以如何表示这些空位成了问题。在古巴比伦,通常用空格来表示空位。例如,用“1 2”来表示“102”。但是,空格的使用方式和大小因人而异,所以很容易造成麻烦。以“1 2”为例,如果让那些习惯将空格留得小一点的人来做记录,就很容易与“12”相混淆。

数字“0”的出现
在无数次发生错误、查找错误、修改错误的过程中,各地文明也在进一步发展,于是出现了大量表示空位的符号,“0”这个数字就是在这时出现的。古巴比伦用刻在石板上的斜体楔形文字表示0;玛雅文明用贝壳的图形来表示0;印加帝国则用绳结来表示0。但是,这个时期的0并没有被当成数字,也就是说它不能与其他数字一同进行加减乘除运算,只是一个表示“这里是空位”的符号。

据说,世界上最早将0作为数字的是古印度数学家。公元7世纪左右,古印度数学家婆罗摩笈多认为0就是一个数字,是可以与其他数进行加减乘除运算的。这样,在将0确定为数字后,不光正数和负数,就连“无的状态”(零状态)也可以用数字来表示了。这一革命性的发明,在很长一段时间后才由印度传向了全世界。

但是欧洲各国似乎一直很难接受“0”这个数字。直到现在,钟表表面上书写的仍然是罗马数字“Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ,…”,而在罗马数字中,是不存在与0对应的数字的。总而言之,在早期的欧洲人的世界观中貌似没有0的存在。之所以这么说,是因为古希腊哲学家亚里士多德一直否认“无”这个状态的存在,他的这一思想与中世纪欧洲基督教教义相吻合,即认为“神奇的数是由上帝创造的,而上帝创造的数中根本没有‘0’”,用“0”来表示“无”这个状态,是在玷污“神圣的上帝”。

到了现代,世界各国都承认了0的存在。我们上面提到的所有数,统称为“整数”,而整数又分为正整数、负整数和0,如图2-4所示。

图2-4 整数的构成

在表示事物个数和金钱面额的时候,无论是何种状态,都可以用整数来表示。但是,这样仍然不能满足社会发展的需求。例如,重量怎么表示呢?如果物体很轻,势必需要用比1更小的数来表示。这个时候能用到的,自然是分数与小数。古巴比伦人就是依据六十进制来使用小数的;在中国、印度等亚洲国家的文献中,很早就有使用小数的记载;欧洲在很长一段时间内都只使用分数,直到17世纪才开始使用小数。

至此,1,2,3,…这些整数之间有了小数和分数,变得连续了起来,它们统称为“实数”,如图2-5所示。

图2-5 实数的构成

然而,实数中有一些数只能用小数表示,而不能用分数表示。我们将实数中能用分数表示的数称为“有理数”,不能用分数表示的数称为“无理数”。例如,圆周率“π”就被证明是一个不能用分数来表示的无理数。除此之外,2的平方根“”、3的平方根“”、自然常数“e”等都是无理数。无理数的概念我们将在下一节中详细说明。

奇怪的虚数“i”
数字的世界一步步地扩展下去,实在令人称奇。接下来,我们要讲一讲古灵精怪的数字“i”。我们知道,“正正得正,负负得正”,任意实数自乘后的结果都不可能是负数。但是,两个i相乘后的结果等于-1!用数学符号来表示就是“”。“”表示开平方,如“”“”。

提出这个不可思议的数——i的是16世纪的欧洲人。它的发现要归功于意大利数学家卡尔达诺。卡尔达诺在1545年出版的《大术》一书中,发表了一元三次方程“ax3+bx2+cx+d=0”的求解公式。

卡尔达诺在求解这个一元三次方程的过程中发现,无论如何都会出现一个自乘后结果为-1的数,也就是。因此他才不得不承认的存在,并将它写为“”。其中,i表示“想象中的数字”,是“imaginary number”的第一个词的首字母,引申义为“这是一个并非真实存在,却不得不引入的数”。后来,人们就将i定义为“虚数单位”了,而“虚”这个汉字本身就含有“实际上不存在”的意思。

这样的解释是不是很容易理解?接下来我们看一个具体的示例。这个示例是16世纪的数学家邦贝利在他的著作中提到过的。首先,我们来求下面这个一元三次方程的解:

x3-15x-4=0.

这个方程的一个解为x=4,将x=4代入,得到:

43-15×4-4=64-60-4=0.

很明显,这个答案是正确的。

第六感强的人可能一眼就能看出x=4这个答案。但是,仅凭直觉求一元三次方程的解并不是一件好事。例如,这个方程除了x=4这个解外,还有和两个解,想用直觉将这三个解全都看出来,显然是不可能的。但是,我们如果使用卡尔达诺公式,就能轻松得到这个方程全部的解。我们首先用卡尔达诺公式来求第一个解,也就是x=4。根据卡尔达诺公式:

x3-□x-◇=0(□和◇代表任意实数),

其中一个解为:

其中,表示自乘3次后为☆的数,也就是将☆开三次方的意思。例如,2自乘3次后等于8,8开三次方后等于2,即。

上例中的□=15和◇=4代入方程后得到:

上式中出现了“”,将自乘后的结果为-121。另外,因为“”,所以上式可以写为:

如此一来,用公式求这个方程的解,势必出现虚数单位i。是不是觉得有点难懂?别担心,随着计算过程的推进,不但方程式中的会消失,还能得出x=4的结果。只是在得出最终结果x=4的过程中,无法避免含有i的计算。也就是说,在一元三次方程的求解过程中,一定会出现虚数单位i。

其实,发现卡尔达诺公式的并非卡尔达诺本人,据说这个公式是意大利数学家尼科洛·塔尔塔利亚发现的。卡尔达诺在听说了塔尔塔利亚发现了一元三次方程的求解公式后,不停地纠缠塔尔塔利亚将这个公式告知自己。无可奈何的塔尔塔利亚在对方同意“绝对不外传”后,悄悄地将这个公式告诉了卡尔达诺,而卡尔达诺转身就把这个求解公式发表在了自己的著作中。虽然塔尔塔利亚非常愤怒,但已无济于事。所以直到现在,我们都将一元三次方程的求解公式称为“卡尔达诺公式”。

i与其他普通的数一样,可以进行加法或乘法运算。准确地说,是我们必须将i定义为和普通数一样可以参与运算的数,否则一元三次方程就不能顺利求解,所以这一定义一直沿用至今。

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tianlang
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这个人很懒,什么都没写

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